Oletame, et oled jõudnud telemängus finaalvooru, kus sul avaneb võimalus võita show peaauhinnaks olev auto. Nagu vanas heas „Der Preis ist heiß-is,“ seisad ärevalt kolme ukse ees - ühe taga on peidus auto, ülejäänud kahe ukse varjus mökitavad kitsed – ja ragistad ajusid. Kuna oled lihtne-poiss, ütled saatejuhile pärast mõningast arupidamist: „palun mulle uks number üks.“
Mängu ilu nimel avab saatejuht seejärel ukse number kolm (eeldame, et saatejuht teab, millise ukse taga on varjul auto) ja sealt hüppab välja kits. Oled rahul ja aplodeerid endale mõttes, sest sulle näib, et auto võitmise tõenäosus on pärast ühe ukse elimineerimist oluliselt suurenenud.
Mängu veelgi põnevamaks muutes pakub saatejuht sulle nüüd võimaluse muuta oma varasemat otsust ja vahetada valitud uks teise suletud ukse vastu. Mida teha? Arutled rahulikult: kaks suletud ust, ühe taga peab olema auto, ühe taga peab olema kits, seega tõenäosus auto võitmiseks peaks olema ½. Ja kuna sa oled põhimõtetega inimene, jääd oma valikule kindlaks ja ütled: „number üks jääb.“
Kas esialgsele valikule kindlaks jäämine on siinkohal õige otsus?
Fakt on, et lõviosa taolistes situatsioonides olnud inimestest jääb oma esialgsele valikule kindlaks ja jätab saatejuhi pakkumise kasutamata.
Kuid tõenäosusteooria ütleb, et taolises olukorras esmasele valikule kindlaks jäämine on vale tegu. Lühidalt öeldes: alguses valitud uksele kindlaks jäädes on auto võitmise tõenäosus ka pärast ukse number kolm avamist 1/3; võttes saatejuhi pakkumise vastu ja vahetades esmalt valitud ukse teise avamata ukse vastu (selles näites asendades ukse number üks uksega number kaks), on auto võitmise tõenäosus 2/3. Ainuke oluline tingimus kirjeldatud tõenäosusjaotuse kehtimiseks on, et saatejuht teab juba alguses, millise ukse taha on auto paigutatud.
Kirjeldatud paradoks on tuntud nime all the Monty Hall problem (http://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem) ning pärineb USA teleshow-st “Let’s Make a Deal”. Analoogseid paradokse ja probleeme leidub tõenäosusmaailmas muidugi teisigi, kuid Monty Halli kohta soovitan wikipediast lugeda just probleemi (näilise) lihtsuse pärast.
Mängu kirjeldust esmakordelt lugedes olin esialgu kerges hämmingus, kuna mulle tundus ühest küljest igati loogiline, et kahe ukse vahel valides peaks tõenäosused olema 50:50 (ja see kehtibki juhul, kui saatejuht ei tea, millise ukse taga auto on, kuid sel juhul tuleb arvestada, et juhuslikult valides võib saatejuht avada esimesena ukse, mille taga on auto), kuid lahenduskäiku nähes oli selge, et kahe ukse kombineeritud tõenäosus peab olema 2/3.
Seepärast ei ole imestamapanev, et kui Monty Halli probleem esitati 1990. aastal ajakirja Parade ühes kolumnis, saatsid tuhanded lugejad (kelle seas ca 1000 doktorikraadiga inimest) ajakirjale kaebuskirja väitega, et esitatud lahendus (s.t et saatejuhi pakkumine tuleks vastu võtta, kuna sel juhul on võidu tõenäosus 2/3) on vale. Üllatav on aga see, et ka pärast matemaatilisi tõestusi ja selgitusi ei usu paljud inimesed, et ukse vahetamine võidu tõenäosust suurendab.
Võibolla tasub loo lugemine end kunagi ära, sest artiklis tsiteeritud itaallasest psühholoog ütleb intrigeerivalt, et mitte ükski teine statistiline mõistatus (õigem väljend oleks siinkohal tegelikult ehk arutlusviga) ei vea inimesi pidevalt niimoodi ninapidi, ning millele isegi Nobeli füüsikapreemia laureaadid annavad järjepidevalt valesid vastuseid.
Ukse valimise taktikat saab lihvida siin: http://www.nytimes.com/2008/04/08/science/08monty.html#.
Vaatasid filmi "21"? Väga hea lugemine!
ReplyDeleteLugesin äsja midagi kaudselt sarnast. Kõige lihtsam seletus on tavaliselt kõige õigem - http://en.wikipedia.org/wiki/Occam's_razor
Jees, mul tuli kah just see film meelde:) Nii et ära eputa seal midagi, et sa palju loed :P
ReplyDeleteParadoksi üle on mõned aastad tagasi vaieldud ka mitmetes meie foorumites (tarkinvestoris ja hinnavaatluses näit.) ja arvatavasti jäädaksegi vaidlema, kuigi efekt täiesti toimib ja see on meie kooliprogrammis sees - http://www.ise.ee/cdrom/cd2/toenaosus/index.htm
ReplyDeleteO.T. Mis puudutab meie vaidlust, siis pole seda "õiget" artiklit ikka veel leidnud. Kuid näit. siin on midagigi, mis mu väidet tõestavad - 1 näide (küll ruleti kohta, mis aga ei muuda midagi) ja mõned olulised laused -
http://forte.delfi.ee/news/teadus/kuidas-kasiinos-ja-lotomangus-varandust-teenida.d?id=23292163
Sattusin Monty Halli otsa yhe loengu jaoks materjali otsides. P2rast imdb-st j2rele vaatamist tuli meelde, et olen filmi "21" n2inud kyll, kuid m2lu v2rskendamiseks vaatan varsti uuesti.
ReplyDeleteJa ma olen kindel, et kui inimesed oma igap2evaotsuste langetamisel kas v6i vahel Occami habemenoa teooriat rakendaksid, j22ks filosofeerimise k6rval palju aega praktiliseks tegevuseks. Nii et v6tan teadmiseks. :)
Kui ma oma keskkooliaastaid meenutan, siis t6en2osusteooria oli mingil algsel kujul ka meie programmis sees, aga pigem pinnapealselt ja liiga formaalsel kujul. Paar viidet elulistele situatsioonidele oleks ehk paremini meelde j22nud.
Tegelikult see ruletin2ide ei ole p2riselt v6rdsustatav lotom2nguga, kuna ruletis on iga viske ajal tegu 50:50 v6imalusega (ja kui 0 arvesse v6tta, siis veel natuke v2iksema v6imalusega).
Aga mis puutub kasiinodesse, siis jah, tavam2ngija kohta 8eldakse Forte artiklis 6igesti, et "on vaid viisid, kuidas kaotus aeglasemaks ja “huvitavamaks” muuta." :)